題名にだまされるが、これは"ポアンカレ予想の本"ではない。 「ポアンカレ予想」だけで話がおおよそわかる人にはこの本は向いていない。 トポロジーをかなり理解している（=途中までの話を退屈に感じる）ような人はこの本の想定する一般人ではないので、より専門的な内容に踏み込んだ本を探すべきだろう。 本書は、幾何学に理解がない、空間の曲率など考えたこともない人間を対象に、空間を考えることの歴史（幾何学の問題・理解の発展）を、紀元前から説明している。 n次元空間のような図示できない物の考え方（直線を数の集合とする定義はすごい！と思った）や、内角の和が180度とならない場合の三角形の話などは、球面三角を学んである程度の知識がある私でも面白く新しい発見があった。私の学んだことは位相幾何学のごく一部だったのだなぁと改めて思う。 ルジャンドル（球）関数のルジャンドル、リーマン面のリーマン、ヒルベルト空間のヒルベルト、クラインの壺のクライン、エルミート行列のエルミート（ポアンカレの師匠だった！）、そのほかにもユークリッドやガウスなど私でも名前を知っている天才達が次々に登場してくる。 古代、バビロニア・ギリシアの頃からポアンカレに至るまでの空間の認識の発展と、ポアンカレ予想以降も続くトポロジーの進展、様々に進歩しながら何度も挑んでも解くことが出来ないポアンカレの問題。 微分幾何学の分野からのリッチフロー（幾何学に偏微分方程式！）の導入で活路が開け、ペレルマンが仰々しくない形でソッと解く。 解かれた後には多くの人が解説を行って解が広く浸透し、一悶着もあったが、ポアンカレ予想は予想通りの結果で解かれたという、長い数学史の一分野が上手く描かれている。 個人的に少しさみしく感じるのは、 20世紀の中盤以降は中国人研究者の名前が何人も現れてくるのに、日本人名は一人も出てこないこと。数学オリンピックで金を取ることもできるし、高校レベルならアメリカをも超える平均数学力を有しているのに、才能が無駄遣いされているなぁ（活かされていない）と感じる。

数学ほど自由で想像的な学問はない。 ただ、その夢をみるには才能と努力と強固な意志が必要で、夢をみる段階にたどり着けるのは限られたごく一部の人だけだ。 その営みを、なんとな〜くぼんや〜り垣間見れる…かもしれない本。 正直数学的な部分はチンプンカンだけど、美味しい部分だけは味わえた気がする。

ポアンカレ予想：多様体の基本群が単位元でありながら、その多様体が3次元球面と同相でない可能性はあるのだろうか。 何を言っているのかよくわかりませんが、宇宙がとり得る形について1904年にフランスの数学者ポアンカレが提出した難問です。 ロシアの数学者、グレゴリー・ペレルマンが2002年投稿の論文で証明しますが、その論文も一般人が理解できるものではなく多くの数学者の解説が必要だったようです。 本書ではユークリッド幾何学、非ユークリッド幾何学、位相幾何学、微分幾何学という幾何学発展の歴史が世界情勢に絡めて解説されています。革新を起こした主要な数学者の一人、リーマンが数学的実態と物理的実態を区別して、数学的対象についてのみ語り出すと以降は概念的な話が増えてきて難解です。そしてポアンカレがポアンカレ予想に至るまでの思考がまた難しいんです。 二次元の任意の地点はX、Y軸の二つの数字で表せて、三次元上の地点はX、Y、Zと三つの数字で表せます。数字を増やしていけば、四、五次元といくらでも次元を拡張していけます。その世界が図示できるかどうかは関係なく、この理論によればそんな高次元の世界があるということになります。SFの世界です。 平面の世界地図が地球の姿だとすると地図の右端を過ぎれば奈落の底、実際は右端の外にでると左端から戻ってきます。平面な地表は2Dの四角が集まった地図で、空間の宇宙は立方体が集まった地図になります。2Dの世界地図と同様に考えると立方体地図の上の面から出ると下の面に戻ってくるということになります。宇宙の果てに向かって進めば元に戻ってくるという理屈がわかったようなわからないような気分。