この手の本だと、「そもそも何が問題になっているのか」を説明するのが 大変だったりする(その意味ではフェルマーの最終定理は異様にわかりやすい)のだけど、 地球の形の想像から始まって、それを3次元に拡張する、と言う形で、 「そもそもポアンカレ予想とはどういう問題か」ということの説明は かなりわかりやすい。 そこからペレルマンが証明するまでの数学者の奮闘の歴史が 語られるのだけど、さすがにそこはちょっと辛かった。理論がわからないことも あるのだけど、人がたくさん出てくるのよね。この辺もうちょっと整理されてると わかりやすかったかも。 読むのは大変だけど、わからないところは適当に流し読みして分かった気に なるためにはいい本かも。

ポアンカレ予想とは、「多様体の基本郡が単位元であれば、その多様体は３次元球面と同相である」という命題である。数学を専攻しなかった人の為にいくつかの専門用語の解説をする。・多様体　　局所的にはユークリッド空間と同相である連続した図形。球面や、平面などが代表例。・多様体の基本郡が単位元　　その多様体の任意のループが一点に収束すること。・ループ　　多様体上の一点から出発し、そこに帰ってくる曲線のこと。・ループが収束　　多様体のループをヒモだと考えたとき、このヒモをどこにも引っかかることなしに引き寄せられること。球上の任意のループは、引っかかることなしに引き寄せられるので収束する。２次元トーラス（ドーナツの表面）は、真ん中の穴を周回するようなループが存在するため、ループは収束しない。・３次元球面　二つの向かい合う球面（２次元球面、普通の球面）の対応しあう点を同一とみなすことで造られる多様体。この内側に入ると、出てこれなくなる。片一方の球の中に入っているところを想像してみよう。その後その球から出るために、球面を突破する。と、もう一方の球の中に入ってしまう。この多様体は、コンパクトな３次元多様体の中ではもっとも単純である。　これでポアンカレ予想の命題自体が何を意味するかわかったと思うが、一応わかりやすく書き直すと「ループが収束する３次元多様体は、必ず３次元球面になる」ということ。２０世紀最高の数学者の一人であるポアンカレが残した予想であるだけに、単純ながらも非常に難解である。どうやって解いたらいいのかの糸口さえ見つかりそうもない。事実、１００年の永きにわたり、多くの数学者から挑戦をはじき返してきた。もしかすると、この問題はゲーデルの不完全性定理の落し穴にはまっていて証明不能であるのではないかとの憶測も生み出した。　この難問を解いたのがペレルマンというアマチュア数学者である。アマチュアといっても、彼は若いことから超一流の数学者として名をはせ、その後突然引退した。そしてまた突然、この難問の解をネット上に公開し数学会を激震させた。　本書はペレルマンの論文の解説書ではない。この問題がペレルマンの論文により終わりを告げるまでの数学の経緯を綴った歴史書である。　ユークリッドに端を発する平行線公理（ある点を通ってある直線と交わらない直線は唯ひとつだけ存在する）。それを定理として扱おうとした数学者の数々。結局は公理であり、これを否定した幾何は矛盾なく創れることにいち早く気づいたガウス、ボヤイ。これを定式化したリーマン。これとはまったく別の場所で、全く同じことに気づいたポアンカレ。このリーマン幾何学の手法では解決不可能なことを回避するために、ポアンカレによって創始された位相幾何学。その位相幾何学の中の難問中の難問であるポアンカレ予想を位相幾何の手法を使うことなく独創的に解いたペレルマン。　この数学の歴史を知りたい人には、実に興味深い本であると思う。一級品といってよい。しかし残念ながら数学を専攻したことがない人には、難しすぎる。位相幾何を得意としていた私にもいくつかわからない部分があった。もし、読まれるのであれば、そのあたりを覚悟して読んでください。